拓扑空间(英语:Topological space)是一种赋予“一点附近”这个概念的抽象数学结构;拓扑空间也是一个集合,其元素称为点,由此可以定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用,是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值,研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。
拓扑结构最实用的动机,在于怎么去定义“一点的附近”,用以定义函数极限。
对于度量空间 内的任一点 ,可定义中心为 ,半径为 的开球
-
然后把开球视为点 附近的“开放边界区域”。但考虑到“区域”应该是有任意形状的,那一般的“开放边界区域”,应该是任取里面的点 ,都会有一个够小的开球 完全落在这个区域里,也就是说,可以定义 的开子集 为满足如下条件的子集合
-
这样定义的开集有一些有趣的性质:
(1) 任二开集的交集也是开集
任取两个 的开子集 ,若 ,根据定义存在 使得
-
-
这样若取 ,则会有:
-
也就是说, 也是个开集。
(2) 任意个开集的并集也会是开集
若 是一群开集所构成的集合,也就是说
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如果取
-
换句话说:
-
这样的话,显然有
-
所以 也会是一个开集。
以上的性质促使人们在不依托度量情况下,去定义一个描述“一点的附近”的结构,换句话说,去抽象的定义一群开集是这么样的特殊集合,任二开集的交集是开的且任意开集的联集也是开的。
上图为三点集合{1,2,3}上四个拓扑的例子和两个反例。左下角的集合并不是个拓扑空间,因为缺少{2}和{3}的联集{2,3};右下角的集合也不是个拓扑空间,因为缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。拓扑结构一词涵盖了开集系,闭集系,邻域系,开核,闭包,导集,滤子等若干概念。可以从这些概念出发,给出若干种等价结构,但大部分书籍都以开集系为准。
根据定义动机一节可以作如下的定义:
的子集族 若满足以下开集公理
正式定义
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直观解释
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本身和空集合也是开的
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有限个开集的交集也是开的
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任意个开集的并集也是开的
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则称 为 的开集系(其中的元素称为开集)或拓扑, 则被称为一拓扑空间, 内的元素 则称为拓扑空间 的点。
开集系的代号 是字母“O”的德文尖角体,取名自德语形容词“offen”(开的)。
从开集系出发定义其它概念:( 为 的子集)
- 闭集:若 是开集,则称 是闭集。
- 邻域:若存在开集 使得 ,则称 是点 的邻域。
- 开核: 的开核(或内部) 定义为 内所有开集之并,也就是
的子集族 若满足如下闭集公理:
正式定义
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直观解释
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本身和空集合也是闭的
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有限个闭集的并集是闭的
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任意个闭集的交集是闭的
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则称 为 的闭集系(其中的元素称为闭集)。
开集系的代号 是字母“ F” 的德文尖角体,取名自法语动词“fermer”(关闭)的过去分词“fermé”(封闭的)。
根据德摩根定理和量词符号的意义,以下的子集族
-
为开集系,类似地,对于开集系 ,以下的子集族
-
为闭集系,所以闭集系跟拓扑是等价的结构。
从闭集系出发定义其它概念:( 为 的子集)
- 开集: 是闭集,则称 是开集。
- 闭包: 的闭包 定义为包含A的所有闭集之交,也就是
函数 ( 指 的幂集的幂集,也就是由所有子集族所构成的集合)若对任意 满足如下邻域公理:
正式定义
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直观解释
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属于 的任意元素( 里的元素都是 的邻域)
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的任二邻域的交集也是 的邻域
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包含任何 的邻域的任意子集也是 的邻域
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的每个邻域内有个 的邻域,使的大邻域都是小邻域里面点的领域
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这样任意 被称为 的邻域系, 里的元素 则称为 的邻域。
换句话说,函数 将 的每个点 映射至 ,而 则是所有 的邻域所构成的集族。
邻域系的代号 是字母“ U” 的德文尖角体,取名自德语动词“ umgeben”(环绕)的名词化“Umgebung”(周围、环境)。
若取以下的子集族
-
因为 包含任意邻域, 本身显然为任意 的领域,故 ;另外空集合 没有任何属于它的点,所以根据实质条件的意义, 。
若取 ,根据邻域公理的第二项有 ;若取 ,且 ,那换句话说
-
这样的话有
-
那这样根据邻域公理第三项, ,所以 的确是个开集合系。
类似地对于开集系 ,若对任意 取
-
那 也会符合上面四款邻域系公理(注意到第四项取 ),所以对所有 定义了邻域系等同于定义了一个拓扑。
从邻域系出发定义其它概念:( 为 的子集)
- 开集:对任意 ,有 ,则称 是开集。(开集本身是它所有点的邻域)
- 开核: (开核里的每一点,都有一个包含于 的领域。)
- 闭包: 。(闭包里每一点的领域,都跟 有交集。)
的幂集 上的一元运算 (即将 的子集A映射为 的子集 )称为闭包运算(像称为原像的闭包)。当且仅当运算 满足下述的闭包公理:
- A1: ;
- A2: ;
- A3: ;
- A4: 。
集合 的闭包通常记为 。
从闭包出发定义其它概念:
- 从闭包定义闭集: 的子集 是闭集,当且仅当 。
- 从闭包定义开核: 的子集 的开核 。
- 从闭包定义邻域: 的子集 是点 的邻域,当且仅当 。
的幂集 上的一元运算 (即将 的子集A映射为 的子集 )称为开核运算(像称为原像的开核或内部)。当且仅当运算 满足如下开核公理:
- I1: ;
- I2: ;
- I3: ;
- I4: 。
集合 的开核通常记为 。
(显然,开核运算是闭包运算的对偶概念)。
从开核出发定义其它概念:
- 从开核定义开集: 的子集 是开集,当且仅当 。
- 从开核定义邻域: 的子集 是点 的邻域,当且仅当 。
- 从开核定义闭包: 的子集 的闭包 。
的幂集 上的一元运算 (即将 的子集 映射为 的子集 )称为导集运算(像称为原像的导集),当且仅当 满足以下导集公理:
- D1: ;
- D2: ;
- D3: ;
- D4:
从导集出发定义其它概念:
- 从导集定义闭集: 的子集 是闭集,当且仅当 。
同一个全集可以拥有不同的拓扑,有些是有用的,有些是平庸的,这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑 的每一个开集都是拓扑 的开集时,称拓扑 比拓扑 更细,或称拓扑 比拓扑 更粗。
仅依赖于特定开集的存在而成立的结论,在更细的拓扑上依然成立;类似的,仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论,在更粗的拓扑上也依然成立。
最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑,最细的拓扑是离散拓扑,这两个拓扑都是平庸的。
在有些文献中,我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。
- 实数集R构成一个拓扑空间:全体开区间构成其上的一组拓扑基,其上的拓扑就由这组基来生成。这意味着实数集R上的开集是一组开区间的并(开区间的数量可以是无穷多个,但进一步可以证明,所有的开集可以表示为可数个互不相交的开区间的并)。从许多方面来说,实数集都是最基本的拓扑空间,并且它也指导着我们获得对拓扑空间的许多直观理解;但是也存在许多“奇怪”的拓扑空间,它们有悖于我们从实数集获得的直观理解。
- 更一般的,n维欧几里得空间Rn构成一个拓扑空间,其上的开集就由开球来生成。
- 任何度量空间都可构成一个拓扑空间,如果其上的开集由开球来生成。这中情况包括了许多非常有用的无穷维空间,如泛函分析领域中的Banach空间和希尔伯特空间。
- 任何局部域都自然地拥有一个拓扑,并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的向量空间。
- 除了由全体开区间生成的拓扑之外,实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑(lower limit topology)。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间[a, b)生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑;在这种拓扑空间中,一个点列收敛于一点,当且仅当,该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。这样我们就给出了一个集合拥有不同拓扑的示例。
- 流形都是一个拓扑空间。
- 每一个单形都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学中非常有用的凸集。在0、1、2和3维空间中,相应的单形分别是点、线段、三角形和四面体。
- 每一个单纯复形都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形—来建立模型,参见多胞形(Polytope)。
- 扎里斯基拓扑是一种纯粹由代数来定义的拓扑,这种拓扑建立在某个环的交换环谱之上或者某个代数簇之上。对Rn或者Cn来说,相应扎里斯基拓扑定义的闭集,就是由全体多项式方程的解集合构成。
- 线性图是一种能推广图的许多几何性质的拓扑空间。
- 泛函分析中的许多算子集合可以获得一种特殊的拓扑,在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛于零函数。
- 任何集合都可以赋予离散拓扑。在离散拓扑中任何一个子集都是开集。在这种拓扑空间中,只有常数列或者网是收敛的。
- 任何集合都可以赋予平庸拓扑。在平庸拓扑中只有空集和全集是开集。在这种拓扑空间中,任和一个序列或者网都收敛于任何一个点。这个例子告诉我们,在某些极端情况下,一个序列或者网可能不会收敛于唯一的一个点。
- 有限补拓扑。设X是一个集合。X的所有有限子集的补集加上空集,构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为有限补空间。有限补空间是这个集合上最小的T1拓扑。
- 可数补拓扑。设X是一个集合。X的所有可数子集的补集加上空集,构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为可数补空间。
- 如果Γ是一个序数,则集合[0, Γ]是一个拓扑空间,该拓扑可以由区间(a, b]生成,此处a和b是Γ的元素。
- X = {1,2,3,4} 和 X 内两个子集组成的集族 τ = {∅, X} 会形成一个平庸拓扑。
- X = {1,2,3,4} 和 X 内六个子集组成的集族 τ = {∅,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 会形成另一个拓扑。
- X = ℤ(整数集合)及集族 τ 等于所有的有限整数子集加上 ℤ 自身不是一个拓扑,因为(例如)所有不包含零的有限集合的联集是无限的,但不是 ℤ 的全部,因此不在 τ 内。
- 1个元素的集上总拓扑数显然只有1个。
- 2个元素的集上总拓扑数显然只有4个。
- 3个元素的集上总拓扑数只有29个。
- 4个元素的集上总拓扑数只有355个。
- n个元素的集上总拓扑数规律还在研究中,不过已取得些成果。参见OEIS-A000798说明
3点集 X={a,b,c}的拓扑总共有29个,可分为九类,具体如下:
- {∅, X}
- {∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X}
- {∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X}
- {∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X}
- {∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X},{∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X}
- {∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X}
- {∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X}
- {∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X}
- {∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}
- 拓扑空间的任何一个子集都可以被赋予一个子空间拓扑,子空间拓扑中的开集是全空间上的开集和子空间的交。
- 对任何非空的拓扑空间族,我们可以构造出这些拓扑空间的积上的拓扑,这种拓扑称为积拓扑。对于有限积来说,积空间上的开集可以由空间族中各个空间的开集的积生成出来。
- 商拓扑可以被如下地定义出来:若X是一个拓扑空间,Y是一个集合,如果f : X → Y是一个满射,那么Y获得一个拓扑;该拓扑的开集可如此定义,一个集合是开的,当且仅当它的逆像也是开的。可以利用f自然投影确定下X上的等价类,从而给出拓扑空间X上的一个等价关系。
- Vietoris拓扑
依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等。可以对拓扑空间进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。
以下假设X为一个拓扑空间。
详细资料请参照分离公理以及相关条码。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式,请参照分离公理的历史。
- 拓扑不可区分性
- X中两个点x,y称为拓扑不可区分的,当且仅当如下结论之一成立:
- 对X中每个开集U,或者U同时包含x,y两者,或者同时不包含它们。
- x的邻域系和y的邻域系相同。
- ,且 。
- 可分的
- X称为可分的,当且仅当它拥有一个可数的稠密子集。
- 第一可数
- X称为第一可数的,当且仅当其任何一个点都有一个可数的局部基。
- 第二可数
- X称为第二可数的,当且仅当其拥有一个可数的基。
- 连通
- X称为连通的,当且仅当它不是两个无交的非空开集的并。(或等价地,该空间的闭开集(既开又闭的集合)只有空集和全空间两者)。
- 局部连通
- X称为局部连通的,当且仅当它的每个点都存在一个特殊的局部基,这个局部基由连通集构成。
- 完全不连通
- X称为完全不连通的,当且仅当不存在多于一个点的连通子集。
- 道路连通
- X称为道路连通的,当且仅当其任意两点x和y,存在从x到y的道路p,也即,存在一个连续映射p: [0,1] → X,满足p(0)= x 且p(1)= y。道路连通的空间总是连通的。
- 局部道路连通
- X称为局部道路连通的,当且仅当其每个点都有一个特殊的局部基,这个局部基由道路连通集构成。一个局部道路连通空间是连通的,当且仅当它是道路连通的。
- 单连通
- X称为单连通的,当且仅当它是道路连通且每个连续映射 都与常数映射同伦。
- 可缩
- X称为可缩的,当且仅当它同伦等价到一点。
- 超连通
- X称为超连通的,当且仅当任两个非空开集的交集非空。超连通蕴含连通。
- 极连通
- X称为极连通的,当且仅当任两个非空闭集的交集非空。极连通蕴含道路连通。
- 平庸的
- X称为平庸的,当且仅当其开集只有本身与空集。
(详细资料请参照紧集)
- 紧性
- X称为紧的,当且仅当其任意开覆盖都有有限开覆盖的加细。
- 林德洛夫性质
- X称为拥有林德洛夫性质,当且仅当其任意开覆盖都有可数开覆盖的加细。
- 仿紧
- X称为仿紧的,当且仅当其任意开覆盖都有局部有限开覆盖的加细。
- 可数紧
- X称为可数紧的,当且仅当其任意可数开覆盖都有限开覆盖的加细。
- 列紧
- X称为可数紧的,当且仅当其任意点列都包含收敛子列。
- 伪紧
- X称为伪紧的,当且仅当其上的任意实值连续函数都有界。
可度量性意味着可赋予空间一个度量,使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理,其中最著名的是Urysohn度量化定理:一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。
对于任一类代数结构,我们都可以考虑其上的拓扑结构,并要求相关的代数运算是连续映射。例如,一个拓扑群 乃是一个拓扑空间配上连续映射 (群乘法)及 (反元素),使之具备群结构。
同样地,可定义拓扑向量空间为一个赋有拓扑结构的向量空间,使得加法与纯量乘法是连续映射,这是泛函分析的主题;我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。
结合拓扑与代数结构,往往可以引出相当丰富而实用的理论,例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论及代数几何中,人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论,并得到较简明的陈述;如数论中的局部域(一种拓扑域),伽罗瓦理论中考虑的Krull拓扑(一种特别的拓扑群),以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑(一种拓扑环)等等。
拓扑空间也可能拥有自然的序结构,例子包括:
- 谱空间(spectral space)上的序结构。
- 特殊化预序:定义 。常见于计算机科学。
- John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag. ISBN 0387901256.
- James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292.
- 点集拓扑学初步 / 江泽涵著. - 上海: 上海科学技术出版社, 1979年1月。
- 点集拓扑学基础 / 吴东兴著. - 北京: 科学出版社, 1981年3月。
- 点集拓扑学原理 / 鲍姆著;蒲思立译. - 北京: 人民教育出版社, 1981年6月。
- 一般拓扑学 / 李普舒茨著;陈昌平等译. - 上海: 华东师大出版社, 1982年1月。
- 一般拓扑学 / 凯莱著;吴丛,吴让泉译. - 北京: 科学出版社, 1982年5月。
- 拓扑学引论 / 本特·门德尔森著;陈明蔚译. - 南宁: 广西人民出版社, 1983年1月。
- 基础拓扑学 / 阿姆斯特朗著;孙以丰译. - 北京: 北京大学出版社, 1983年1月。
- 点集拓扑学 / 方嘉琳编著. - 沈阳: 辽宁人民出版社, 1983年4月。
- 拓扑学的基础和方法 / 野口宏著;郭卫中,王家彦译. - 北京: 科学出版社, 1986年3月。
- 拓扑学初步 / 苏步青著. - 上海: 复旦大学出版社, 1986年4月。
- 拓扑学基础教程 / 曼克勒斯著;罗嵩龄等译. - 北京: 科学出版社, 1987年8月。
- 基础拓扑学 / 何伯和,廖公夫著. - 北京: 高等教育出版社, 1991年1月。
- 一般拓扑学专题选讲 / 蒋继光著. - 成都: 四川教育出版社, 1991年3月。
- 拓扑学导论 / 鲍里索维奇等著;盛立人等译. - 北京: 高等教育出版社, 1992年9月。
- 基础拓扑学讲义 / 尤承业编著. - 北京: 北京大学出版社, 1997年. ISBN 7-301-03103-3.