三角反棱柱
在几何学中，三角反棱柱是底面为三角形的反棱柱。其侧面必为等腰三角形，但底面可以是任意三角形。所有三角反棱柱皆为八面体，具有8个面、12个边和6个顶点。
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| 类别 | 反棱柱 柱状均匀多面体 | |
|---|---|---|
| 对偶多面体 | 三方偏方面体 | |
| 识别 | ||
| 名称 | 三角反棱柱 | |
| 参考索引 | U77(a) | |
| 数学表示法 | ||
| 考克斯特符号 |      | |
| 施莱夫利符号 | s{2,3} | |
| 威佐夫符号 | | 2 2 3 | |
| 康威表示法 | A3 | |
| 性质 | ||
| 面 | 8 | |
| 边 | 12 | |
| 顶点 | 6 | |
| 欧拉特征数 | F=8, E=12, V=6 （χ=2） | |
| 组成与布局 | ||
| 面的种类 | 6个等腰三角形 2个任意三角形 | |
| 面的布局 | 6{3}+2{3} | |
| 顶点图 | 3.3.3.3 | |
| 对称性 | ||
| 对称群 | D3d, [2+,6], (2*3), order 12 | |
| 旋转对称群 | D3, [3,2]+, (332), order 6 | |
| 特性 | ||
| 凸 | ||
| 图像 | ||
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和其他反棱柱不同在于，正三角反棱柱在底面和侧面皆为正三角形时是正多面体，即正八面体，而其它的正多角反棱柱只能算是一种半正多面体（或均匀多面体）。
正三角反棱柱
编辑当底面为正三角形时，侧面为等腰三角形未必为正三角形时，此时就可以称为正三角反棱柱。在施莱夫例符号中用s{2,3}表示可以借由三面形透过扭棱变换构造而来，而在考克斯特记号中以 或 表示，具有D3d, [2+,6], (2*3)对称性和D3, [3,2]+, (332)旋转对称性。
若底面与侧面皆为正三角形时，则该立体将与正八面体无异，在施莱夫利符号{3,4}表示，而在考克斯特符号中以
表示，具有比上述立体更高的对称性Oh, BC3, [4,3], (*432)和O, [4,3]+, (432)旋转对称性。
拓朴同构立体
编辑三角反锥台
编辑三角反锥台是指存在锥度的三角反棱柱，也就是底面积与顶面积大小不同的三角反棱柱。
扭曲三角柱
编辑扭曲三角柱是一个与三角反棱柱类似结构的立体，由上下2个三角形底面和6三角形侧面组成，但其为凹多面体。这个立体如果不添加新顶点，就不能将其三角剖分成若干四面体。这种性质由埃里希·舍恩哈特于1928年发现，因此又称为舒恩哈特八面体。[1]
交叉三角反棱柱
编辑交叉三角反棱柱是一种星形多面体，其拓朴结构等价于三角反棱柱，并且与三角柱拥有相同的顶点排布，但其不能成为均匀多面体，因为其侧面仅能以等腰三角形的形式存在。交叉三角反棱柱的顶点布局为3.3/2.3.3，表示其中有一个反向相接的三角形，以至于其顶点图呈现交叉四边形。
其他反棱柱
编辑二角反棱柱
编辑在几何学中，二角反棱柱是底面为二角形的反棱柱，是一种退化的反棱柱。其侧面必为等腰三角形，但底面能是二角形。若计入其退化的两个二角形底面，则其具有6个面、8条边和4个顶点；若不计退化的二角形底面，则二角反棱柱仅有一种，与四面体无异，具有4个面、6个边和4个顶点。
若不计退化的二角形底面，则如同正三角反棱柱，正二角反棱柱也是一种正多面体。
相关多面体与镶嵌
编辑三角反棱柱可以由三角形二面体的对偶三面形透过扭棱变换构造而来，因此与三角形二面体具有相同的对称性，其可以衍生出一些相关的多面体：
| 对称群：[3,2], (*322) | [3,2]+, (322) | ||||||||
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| {3,2} |
t{3,2} |
r{3,2} |
2t{3,2}=t{2,3} | 2r{3,2}={2,3} | rr{3,2} | tr{3,2} | sr{3,2} | ||
| 半正对偶 | |||||||||
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| V32 | V62 | V32 | V4.4.3 | V23 | V4.4.3 | V4.4.6 | V3.3.3.3 | ||
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | n |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| s{2,4} sr{2,2} |
s{2,6} sr{2,3} |
s{2,8} sr{2,4} |
s{2,10} sr{2,5} |
s{2,12} sr{2,6} |
s{2,14} sr{2,7} |
s{2,16} sr{2,8} |
s{2,18} sr{2,9} |
s{2,20} sr{2,10} |
s{2,22} sr{2,11} |
s{2,24} sr{2,12} |
s{2,2n} sr{2,n} |
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| 作为球面镶嵌 | |||||||||||
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参考文献
编辑- ^ Schönhardt, E., Über die Zerlegung von Dreieckspolyedern in Tetraeder, Mathematische Annalen, 1928, 98: 309–312, doi:10.1007/BF01451597