三面形(英语:Trigonal hosohedron、Triangular hosohedron或3-hosohedron[1])是以三角形基底多面形,表示三个镶嵌在球面上的球弓形英语Spherical lune,为球面三面体的一种[2],由3个、3条和2个顶点组成,在施莱夫利符号中利用{2,3}来表示[3],其对偶多面体三角形二面体

三面形
三面形
类别多面形均匀多面体、球面镶嵌
对偶多面体三角形二面体在维基数据编辑
数学表示法
考克斯特符号
英语Coxeter-Dynkin diagram
node 3 node 2 node_1 
施莱夫利符号{2,3}在维基数据编辑
威佐夫符号
英语Wythoff symbol
3 | 2 2
性质
3
3
顶点2
欧拉特征数F=3, E=3, V=2 (χ=2)
组成与布局
面的种类二角形
顶点布局
英语Vertex_configuration
23
对称性
对称群D3h, [2,3], (*223), 12阶
旋转对称群
英语Rotation_groups
D3, [2,3]+, (223), order 12

性质

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三面形是一个退化多面体,其无法拥有体积。三面形由3个二角形组成,每个顶点都是3个二角形的公共顶点。正三面形的每个面都是正二角形,且每个顶点都是3个正二角形的公共顶点,因此正三面形也可以视为一种正多面体,但是因为其已退化,因此不会与柏拉图立体一同讨论,但可以视为一种正则地区图[3]

三面形具有 D3h, [2,3], (*223) 的对称性和 D3, [2,3]+ 的旋转对称性,且阶数为12,在考克斯特符号中用     表示。

三面形可以经由一角形二面体透过截角变换而得[注 1][3]

三面形可以截角为三角柱,也可以交错截角为正四面体[4]

皮特里三面形

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三面形的皮特里多边形是一种具有6条边和6个顶点的退化扭歪多边形[3],其边两两共用,六个顶点每三个互相共用。三面形的皮特里对偶由一个前述的六边形组成,并且该六边形在每个顶点的周围,以正则地区图的模式自我相邻3次[5],因此在施莱夫利符号中可以用{6,3}(1,1)来表示[3]

三面形的皮特里对偶共由1个面、3条边和2个顶点组成,可以视为一面体的一种,是一个可定向曲面[5],作为正则地区图可以具象化为一种环形多面体,在施莱夫利符号中表示为{6,3}1,0[7]

环形多面体的展开图
 
{6,3}1,0
由1个面、3条棱和2个顶点组成
(v:2, e:3, f:1)

对偶多面体

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球面上的三角形二面体,三面形的对偶多面体

三面形的对偶多面体三角形二面体(Triangular dihedron或Trigonal dihedron),又称为双三角形(di-triangle[8]),是一种多边形二面体,由2个三角形面、三条边和三个顶点组成。期两个三角形已背对背的方式互相连接,与截半三面形类似,但没有像截半三面形那样在边与边的连接处存在两角形(三角形二面体截半的结果也是截半三面形)。[8]

正三角形二面体是指由两个正三角形背对背贴合所形成的几何体,由于其组成面皆为正多边形,且所有边等长、所有角等角,因此可以视为一种退化的正多面体,其在施莱夫利符号中以{3,2}表示,代表由2个施莱夫利符号表示为{3}的正三角形组成。[9]

做为一个球面镶嵌,球面的正三角形二面体由2个球形三角形组成,其在球面的大圆上共用3个相同的顶点;球面正三角形二面体的每个正三角形面都恰好填满了一个半球。这两个球面正三角形在球面的大圆赤道上等距地分布。

三角形二面体的皮特里对偶为六边形二面体半形[8][10],即六边形二面体的多面体半形,这意味著三角形二面体的皮特里多边形为六边形[8],该六边形的顶点两两共用,或可以是围绕三角形两圈构成的六边形[10]

截半三面形

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截半三面形

截半三面形是指三面形经过截半变换后的结果,即三面形节去所有顶点至边的中点。所形成的立体由2个三角形截面和3个二角形原始面组成。2个三角形面以类似多边形二面体的方式贴合,而3个二角形则位于贴合边上,围绕三角形面一圈,类似于一串香肠串的样式[11],因此又称为三角香肠面形(3-lucanicohedron)[12]

截半三面形共由5个面、6条边和3个顶点组成,在其5个面中有2个三角形面和3个二角形面,其3个顶点皆为2个二角形和2个三角形的公共顶点。由于截半三面形由两种面组成(二角形和三角形),因此其不算是正则地区图,仅能算做拟正则地区图。截半三面形也是三角形二面体经过截半变换后的结果。[12]

截角三角形二面体

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截角三角形二面体是一个与截半三面形类似的几何体,其同样有3个二角形面,但两个三角形面变为两个六边形面,六边形面同样背对背贴合,3个二角形面交错地分布在六边形的边上的贴和处,无二角形面的六边形-六边形贴和处则是直接贴合,因此其顶点图变为两个六边形和一个二角形的公共顶点。

 
截角三角形二面体
 
截半三面形

相关多面体

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三面形是三角形二面体对偶多面体[3],因此与三角形二面体具有相同的对称性,其可以衍生出一些相关的多面体:

半正三角形二面体球面多面体
对称群英语List of spherical symmetry groups[3,2], (*322) [3,2]+, (322)
                                               
             
{3,2}
章节
t{3,2}
章节
r{3,2}
章节
2t{3,2}=t{2,3} 2r{3,2}={2,3} rr{3,2} tr{3,2} sr{3,2}
半正对偶
                                               
               
V32 V62 V32 V4.4.3 V23 V4.4.3 V4.4.6 V3.3.3.3
正多面形系列
球面镶嵌 欧式镶嵌
仿紧空间
双曲镶嵌
非紧空间
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... iπ
一面形 二面形 三面形 四面形 五面形 六面形 七面形 八面形 九面形 十面形 十一面形 十二面形 无限面形 超无限面形
   
{2,1}
     
{2,2}
     
{2,3}
     
{2,4}
     
{2,5}
     
{2,6}
     
{2,7}
     
{2,8}
     
{2,9}
      
{2,10}
      
{2,11}
      
{2,12}
     
{2,∞}
     
{2,iπ/λ}
                           

参见

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注释

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  1. ^ 一角形二面体由2个一角形、1条边和1个顶点组成,顶点图二角形,因此截角变换后会生成二角形面,并在与单一顶点相邻的单一边之两侧各形成一个顶点,将原有的2个一角形截角二角形,再加上截角产生的新二角形,其截角变换的像将会有3条边、3个二角形和2个顶点,此结构即为三面形。

参考文献

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  1. ^ E. Alesci, M. Assanioussi, J. Lewandowski. Curvature operator for loop quantum gravity. Physical Review D. 2014-06-12, 89 (12) [2022-12-16]. ISSN 1550-7998. doi:10.1103/PhysRevD.89.124017. (原始内容存档于2022-12-16) (英语). 
  2. ^ Teng-Teng Chen, Wan-Lu Li, Wei-Jia Chen, Xiao-Hu Yu, Xin-Ran Dong, Jun Li, Lai-Sheng Wang. Spherical trihedral metallo-borospherenes. Nature Communications. 2020-06-02, 11 (1) [2022-12-16]. ISSN 2041-1723. PMC 7265489 . PMID 32488008. doi:10.1038/s41467-020-16532-x. (原始内容存档于2022-12-16) (英语). 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 The 3-hosohedron. weddslist.com. [2022-12-15]. (原始内容存档于2022-12-15). 
  4. ^ Notes on operations on polyhedra. antitile.readthedocs.io. [2022-12-16]. (原始内容存档于2022-12-16). 
  5. ^ 5.0 5.1 {3,6}(1,1). weddslist.com. [2022-12-15]. 
  6. ^ Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J., Generators and Relations for Discrete Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 14 4th, Springer Verlag, 1980, ISBN 978-0-387-09212-6 
  7. ^ Coxeter 1980[6], 8.4 Maps of type {3,6} or {6,3} on a torus.
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 The di-triangle. weddslist.com. [2023-01-09]. (原始内容存档于2022-12-29). 
  9. ^ Coxeter, H. S. M., Regular Polytopes 3rd, Dover Publications Inc.: 12, January 1973, ISBN 0-486-61480-8 
  10. ^ 10.0 10.1 The hemi-di-hexagon. weddslist.com. [2023-01-09]. (原始内容存档于2016-03-14). 
  11. ^ glossary§lucanicohedron. weddslist.com. [2022-12-29]. (原始内容存档于2021-05-07). 
  12. ^ 12.0 12.1 The 3-lucanicohedron. weddslist.com. [2022-12-29]. (原始内容存档于2022-12-29).