物理學領域裡,算符(operator)亦稱算子運算子[1],有別於數學的算子,其作用於物理系統的狀態空間,使得物理系統從某種狀態變換為另外一種狀態。這變換可能相當複雜,需要用很多方程式來表明,假若能夠使用算符來代表,可以更為簡單扼要地表達論述。

對於很多案例,假若作用的對象有所迥異,算符的物理行為也會不同;但是,對於有些案例,算符的物理行為具有一般性,這時,就可以將論題抽象化,專注於研究算符的物理行為,不必顧慮到狀態的獨特性。這方法比較適用於一些像對稱性守恆定律的論題。因此,在經典力學裏,算符是很有用的工具。在量子力學裏,算符為理論表述不可或缺的要素。

對於更深奧的理論研究,可能會遇到很艱難的數學問題,算符理論(operator theory)能夠提供高功能的架構,使得數學推導更為簡潔精緻、易讀易懂,更能展現出內中物理涵意。

一般而言,在經典力學裏的算符大多作用於函數,這些函數的參數為各種各樣的物理量,算符將某函數映射為另一種函數。這種算符稱為「函數算符」。在量子力學裏的算符稱為「量子算符」,作用的對象是量子態。量子算符將某量子態映射為另一種量子態。

經典力學

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經典力學裏,粒子(或一群粒子)的動力行為是由拉格朗日量 哈密頓量 決定;其中,  分別是廣義坐標廣義速度 共軛動量 是時間。

假設拉格朗日量 或哈密頓量 與某廣義坐標 無關,則當 有所改變時,  仍舊會保持不變,這意味著粒子的動力行為也會保持不變,對應於 的共軛動量 守恆。對於廣義坐標 的改變,動力行為所具有的不變性是一種對稱性。在經典力學裏,當研讀有關對稱性的課題時,算符是很有用的工具。

特別而言,假設對於某種 的變換運算,物理系統的哈密頓量是個不變量;也就是說,假設 

 

在這案例裏,所有 的元素 都是物理算符,能夠將物理系統從某種狀態變換為另一種狀態;儘管 作用於這物理系統,哈密頓量守恆不變。

舉一個關於平移於空間的簡單例子。「平移算符」 能夠將粒子從坐標為 移動至坐標為 ,以方程式表示:

 

其中, 是描述一群粒子的密度函數。

給定一個對於平移變換具有不變性的物理系統,則儘管 的作用,這物理系統的哈密頓量 是個不變量,對應於坐標 的動量 守恆。

經典力學算符表格

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算符 標記 位置 動量
平移算符      
時間演化算符      
旋轉算符      
伽利略變換算符      
宇稱算符      
時間反演算符      
  •  旋轉矩陣 是旋轉軸向量, 是旋轉角弧。

生成元概念

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對於一個微小的平移變換,猜測平移算符的形式為

 

其中, 是「單位算符」──變換單位元 是微小參數, 是專門用來設定平移變換生成元

為了簡化論述,只考慮一維案例,推導平移於一維空間的生成元。將平移算符 作用於函數 

 

由於 很微小,可以泰勒近似 

 

重寫平移算符的方程式為

 

其中,導數算符 是平移群的生成元。

總結,平移群的生成元是導數算符。

指數映射

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在正常狀況下,通過指數映射,可以從生成元得到整個。對於平移於空間這案例,重複地做 次微小平移變換 ,來代替一個有限值為 的平移變換 

 

現在,讓 變得無窮大,則因子 趨於無窮小:

 

這表達式的極限為指數函數:

 

核對這結果的正確性,將指數函數泰勒展開冪級數

 

這方程式的右手邊可以重寫為

 

這正是 泰勒級數,也是 的原本表達式結果。

物理算符的數學性質是很重要的研讀論題。更多相關內容,請參閱條目C*-代數蓋爾范德-奈馬克定理(Gelfand-Naimark theorem)。

量子力學

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量子力學裏,算符的功能被發揮得淋漓盡致。量子力學的數學表述建立於算符的概念。量子系統的量子態可以用態向量設定,態向量是向量空間單位範數向量。在向量空間內,量子算符作用於量子態,使它變換成另一個量子態。由於物體的態向量範數應該保持不變,量子算符必須是厄米算符[來源請求]。假若變換前的量子態與變換後的量子態,除了乘法數值以外,兩個量子態相同,則稱此量子態為本徵態,稱此乘法數值為本徵值[2]:11-12

物理實驗中可以觀測到的物理量稱為可觀察量。每一個可觀察量,都有其對應的算符。可觀察量的算符也許會有很多本徵值與本徵態。根據統計詮釋,每一次測量的結果只能是其中的一個本徵值,而且,測得這本徵值的機會呈機率性,量子系統的量子態也會改變為對應於本徵值的本徵態。[3]:106-109

量子算符

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假設,物理量 是某量子系統的可觀察量,其對應的量子算符 可能有很多不同的本徵值 與對應的本徵態 ,這些本徵態 ,形成了具有正交歸一性基底[3]:96-99

 

其中, 克羅內克函數

假設,某量子系統的量子態為

 

其中, 是複係數,是在 裏找到 機率幅[2]:50

測量這動作將量子態 改變為本徵態 的機率為 ,測量結果是本徵值 的機率也為 

期望值

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在量子力學裏,重複地做同樣實驗,通常會得到不同的測量結果,期望值是理論平均值,可以用來預測測量結果的統計平均值。

採用狄拉克標記,對於量子系統的量子態 ,可觀察量 的期望值 定義為[2]:24-25

 

其中, 是對應於可觀察量 的算符。

將算符 作用於量子態 ,會形成新量子態 

 

從左邊乘以量子態 ,經過一番運算,可以得到

 

所以,每一個本徵值與其機率的乘積,所有乘積的代數和,就是可觀察量 期望值

 

將上述定義式加以推廣,就可以用來計算任意函數 的期望值:

 

例如, 可以是 ,即重複施加算符 兩次:

 

對易算符

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假設兩種可觀察量  的算符分別為  ,它們的對易算符定義為

 

對易算符是由兩種算符組合而成的複合算符,當作用於量子態 時,會給出

 

假設 ,則稱這兩種可觀察量為「相容可觀察量」,否則, ,稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」。

假設兩種可觀察量為不相容可觀察量,則由於不確定原理,絕無法製備出這兩種可觀察量在任意精確度內的量子系統。注意到這是一個關於製備方面的問題,不是一個關於測量方面的問題。假若精心設計測量實驗,裝備足夠優良的測量儀器,則對於某些量子系統,測量這兩種可觀察量至任意精確度是很容易達成的任務。[4]

厄米算符

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每一種經過測量而得到的物理量都是實值,因此,可觀察量 的期望值是實值:

 

對於任意量子態 ,這關係都成立:

 

根據伴隨算符的定義,假設  的伴隨算符,則 。因此,

 

這正是厄米算符的定義。所以,表現可觀察量的算符,都是厄米算符。[3]:96-99

矩陣力學

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應用基底的完備性,添加單位算符 於算符 的兩旁,可以得到[2]:20-23

 

其中, 是求和式內每一個項目的係數。

所以,量子算符可以用矩陣形式來代表:

 

算符 與它的伴隨算符 彼此之間的關係為

 

所以,分別代表這兩個算符的兩個矩陣,彼此是對方的轉置共軛。對於厄米算符,代表的矩陣是個實值的對稱矩陣

用矩陣代數來計算算符 怎樣作用於量子態 ,假設系統因此變換為量子態 

 

從左邊乘以本徵態 ,應用基底的完備性,添加單位算符 於算符的右邊,可以得到

 

右矢  分別用豎矩陣來代表

       

兩個豎矩陣彼此之間的關係為

 

假設算符 是厄米算符,則其所有本徵態都相互正交。[5]以矩陣來代表算符,可以計算出一組本徵值與對應的本徵態,每一次做測量會得到的結果只能是這一組本徵值中之一。由於本徵態的正交性質,可以找到一組基底來表示每一種量子態。解析方塊矩陣的特徵多項式,就可以找到本徵值 

 

量子算符表格

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在這表格裏,算符的表現空間是位置空間。假若表現空間是其它種空間,則表示出的方程式會不一樣。在英文字母上方的尖角號表示整個符號代表的是個量子算符,不是單位向量。

算符名稱 直角坐標系分量表示 向量表示
位置算符    
動量算符 一般狀況

 

一般狀況

 

電磁場

 

電磁場( 磁向量勢

 

動能算符 平移運動

 

平移運動

 

電磁場

 

電磁場( 磁向量勢

 

旋轉運動( 轉動慣量

 

旋轉運動

 

勢能算符 N/A  
能量算符 N/A 含時位勢:

 

不含時位勢:
 

哈密頓算符 N/A  
角動量算符    
自旋算符  

其中,

 

 

 

自旋1/2粒子的包立矩陣

 

其中,向量 的分量是包立矩陣。

總角動量算符    
躍遷矩(電)
(transition moment)
   

範例

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位置算符

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只思考一維問題,將位置算符 施加於位置本徵態 ,可以得到本徵值 ,即粒子的位置:[6]:220-221

 

由於位置基底具有完整性 ,任意量子態 可以按著位置本徵態形成的基底展開:

 

將位置算符 施加於量子態 ,由於算符 只作用於右矢 ,與其它數學個體無關,可以移入積分式內:

 

左矢 與這方程式的內積為

 

設定量子態 。由於位置基底具有完整性 ,量子態  的內積,可以按著位置本徵態形成的基底展開為

 

將這兩個積分式加以比較,立刻可以辨識出全等式

 

設定量子態 。量子態  的位置空間表現,即波函數,分別定義為

 
 

兩個波函數  之間的關係為

 

總結,位置算符 作用於量子態 的結果 ,表現於位置空間,等價於波函數  的乘積 

動量算符

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表現於位置空間,一維動量算符為

 

將動量算符 施加於量子態 ,可以得到類似前一節得到的結果:

 

應用位置基底所具有的完整性,對於任意量子態 ,可以得到更廣義的結果:

 

其中,  分別是量子態  表現於位置空間的波函數

假設  的本徵態,本徵值為 ,則可得到

 

 改寫為本徵值為 的本徵態 ,方程式改寫為

 

這微分方程式的解析解為

 

所以,動量本徵態的波函數是一個平面波。不需要應用薛丁格方程式,就可以推導求得這出結果。[2]:50-54

參閱

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參考文獻

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  1. ^ Kittel charles著,洪連輝等譯,固態物理學導論,第681頁。
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 
  4. ^ Ballentine, L. E., The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics, Reviews of Modern Physics, 1970, 42: 358–381, doi:10.1103/RevModPhys.42.358 
  5. ^ Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to QUANTUM CHEMISRTY (Volume 1), P.W. Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0
  6. ^ 費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修, 費曼物理學講義III量子力學(3)薛丁格方程式, 台灣: 天下文化書: pp. 205–237, 2006, ISBN 986-417-672-2