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正六邊形鑲嵌

在幾何學中，正六邊形鑲嵌是一種平面鑲嵌，由正六邊形重覆組合排列而成，且填滿整個平面，而且沒有任何空隙或重疊，由於皆由正多邊形組成，因此稱為正鑲嵌圖。正六邊形鑲嵌是三維歐幾里得空間中三個正密鋪之一。另外兩個分別是正三角形鑲嵌和正方形鑲嵌。

正六邊形鑲嵌
正六邊形鑲嵌
類別正鑲嵌
對偶多面體正三角形鑲嵌
識別
鮑爾斯縮寫
（verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）		hexat在維基數據編輯
數學表示法
考克斯特符號
（英語：Coxeter-Dynkin diagram）		node_1 6 node 3 node 
node 6 node_1 3 node_1 
node_1 split1 branch_11 
施萊夫利符號{6,3}
t0,1{3,6}
威佐夫符號
（英語：Wythoff symbol）		3 | 6 2
2 6 | 3
3 3 3 |
康威表示法H
性質
二面角180度(平角)
組成與佈局
頂點圖6.6.6 (or 63)
頂點佈局
（英語：Vertex_configuration）		63
對稱性
對稱群p6m, [6,3], (*632)
旋轉對稱群
（英語：Rotation_groups）		p6, [6,3]+, (632)
圖像

6.6.6 (or 63)
（頂點圖）

正三角形鑲嵌
（對偶多面體）

康威將之稱為hextille。

由於正六邊形鑲嵌是由正六邊形組成，又因正六邊形內角為120°，因此每個頂點周圍都有3個正六邊形，且剛好占滿360°，才能填滿平面。

在施萊夫利符號中，正六邊形鑲嵌可用{6,3}或t{3,6}表示。

圓堆砌

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正六邊形鑲嵌可以被用來進行圓堆砌（英語：Circle packing），以其每個頂點為圓心放置等直徑的圓。在這個堆砌里，每個圓都與3個相鄰圓接觸（接觸數（英語：Kissing number problem））。每個正六邊形中間的部分實際上還可以再放入一個圓，這樣我們就會得到二維最密圓堆砌——正三角形鑲嵌式圓堆砌，這時接觸數達到最大值6。

 

半正塗色

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正六邊形鑲嵌共有3種不同的半正塗色（英語：Uniform coloring），都可以由Wythoff（英語：Wythoff constructions）鏡面對稱構造出來。(h,k)表示一種塗色的面週期性重複，以正六邊形距離h、k計數，h在先，k在後。

k階半正 一階半正 二階半正 三階半正
圖像              
顏色數 1 2 3 2 4 2 7
(h,k) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1)
施萊夫利符號 {6,3} t{3,6} t0,1,2{3[3]}
Wythoff符號（英語：Wythoff symbol） 3 | 6 2 2 6 | 3 3 3 3 |
對稱性 *632
(p6m)
[6,3] 		*333
(p3)
[3[3]] 		*632
(p6m)
[6,3] 		632
(p6)
[6,3]+
考克斯特符號（英語：Coxeter-Dynkin diagram）                
康威多面體符號 H tH teH t6daH t6dateH t6dsH

其中三色正六邊形鑲嵌是一個由三階全序多胞形（英語：permutohedron）產生的鑲嵌。

相關半正鑲嵌

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正六邊形鑲嵌可以通過截角操作得到一系列與之相關的半正鑲嵌，其與正六邊形鑲嵌擁有相似的對稱性：

正三角形鑲嵌家族的半正鑲嵌
對稱性: [6,3], (*632) [6,3]+, (632) [1+,6,3], (*333) [6,3+], (3*3)
                                                           
                   
{6,3} t0,1{6,3} t1{6,3} t1,2{6,3} t2{6,3} t0,2{6,3} t0,1,2{6,3} s{6,3} h{6,3} h1,2{6,3}
半正對偶
                                                           
                 
V6.6.6 V3.12.12 V3.6.3.6 V6.6.6 V3.3.3.3.3.3 V3.4.12.4 V.4.6.12 V3.3.3.3.6 V3.3.3.3.3.3

正六邊形鑲嵌在拓撲上與一系列一直延伸到雙曲鑲嵌的頂點圖為n3的（廣義）多面體相關：

多面體 歐式鑲嵌 雙曲鑲嵌
 
{2,3}
      		 
{3,3}
      		 
{4,3}
      		 
{5,3}
      		 
{6,3}
      		 
{7,3}
      		 
{8,3}
      		...  
{∞,3}
     

（三階）正六邊形鑲嵌在拓撲上與一系列面為正六邊形的密鋪相關聯，這些鑲嵌都可稱之為「正六邊形鑲嵌」，所以我們以「n 階」來區分，其施萊夫利符號為{6,n}，考克斯特符號（英語：Coxeter diagram）     ，一直到n = ∞：

球面 歐氏 雙曲鑲嵌
 
{6,2}
      		 
{6,3}
      		 
{6,4}
      		 
{6,5}
      		 
{6,6}
      		 
{6,7}
      		 
{6,8}
      		...  
{6,∞}
     

這個鑲嵌還是一系列有考克斯特對稱群[n,3]對稱性的（半）截角菱形多面體或鑲嵌的一員。立方體可以被看作是「菱形六面體」，這裡菱形就是正方形。它們的截角形在原頂點處有正的多邊形，而原來的菱形面則被截成了非正六邊形。這一系列多面體或鑲嵌有兩種頂點圖：(n.6.6)和(6,6,6)。

多面體 歐氏鑲嵌 雙曲鑲嵌
[3,3] [4,3] [5,3] [6,3] [7,3] [8,3]
 
立方體 		 
菱形十二面體 		 
菱形三十面體 		 
菱形鑲嵌 		   
 
倒角四面體 		 
倒角立方體 		 
倒角十二面體 		 
正六邊形鑲嵌

正六邊形鑲嵌亦可被看作延長菱形鑲嵌，菱形鑲嵌的每一個頂點都被延長成了新的棱。這類似於三維空間中的菱形十二面體堆砌和菱形六角化十二面體堆砌之間的關係。

 
菱形鑲嵌 		 
正六邊形鑲嵌 		 
利用這一關係的柵欄

基於正六邊形鑲嵌和正三角形鑲嵌的Wythoff構建

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就像半正多面體一樣，這裡也有8個基於正六邊形鑲嵌（和正三角形鑲嵌）的半正鑲嵌。在以下的圖片中，原有面對應的面被塗成了紅色，原有頂點所對應的面被塗成了黃色，原有棱對應的面被塗成了藍色。這8個半正鑲嵌中，只有7個是拓撲上相異的。（截頂正三角形鑲嵌與正六邊形鑲嵌在拓撲上相同）

正六邊形鑲嵌/正三角形鑲嵌
對稱性: [6,3], (*632) [6,3]+
(632) 		[1+,6,3]
(*333) 		[6,3+]
(3*3)
{6,3} t{6,3} r{6,3}
r{3[3]} 		t{3,6}
t{3[3]} 		{3,6}
{3[3]} 		rr{6,3}
s2{6,3} 		tr{6,3} sr{6,3} h{6,3}
{3[3]} 		h2{6,3}
r{3[3]} 		s{3,6}
s{3[3]}
                                                     
     
=     		     
=     		     
=     		            =
    or     		      =
    or     		     
=    
     
  		 
  		 
  		 
  		           
 
半正對偶
V63 V3.122 V(3.6)2 V63 V36 V3.4.12.4 V.4.6.12 V34.6 V36 V(3.6)2 V36
                                                                 
                     
三角形
對稱性 		拓展對稱性（英語：Coxeter notation） 拓展
符號 		拓展
階 		堆砌符號
a1 [3[3]]     ×1 (None)
i2 <[3[3]]>
= [6,3] 		   
=       		×2     1,     2
r6 [3[3[3]]]
= [6,3] 		   
=       		×6     3,     (1)
Wythoff（英語：Wythoff symbol） 3 | 3 3 3 3 | 3 3 | 3 3 3 3 | 3 3 | 3 3 3 3 | 3 3 3 3 | | 3 3 3
考克斯特                                
圖像
頂點圖 		 
(3.3)3 		 
3.6.3.6 		 
(3.3)3 		 
3.6.3.6 		 
(3.3)3 		 
3.6.3.6 		 
6.6.6 		 
3.3.3.3.3.3


拓撲相同的鑲嵌

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正六邊形鑲嵌是有著{6,3}拓撲的一種特殊的正的鑲嵌，而實際上，這裡有12種類型的非正但是面全同（英語：face-transitivity）且頂點全同（英語：vertex-transitivity）的六邊形鑲嵌，前7種可以被認為是沒有邊對邊正好對上的四邊形鑲嵌，也可被認為是有兩對共線邊的六邊形鑲嵌。這裡的「對稱性」假定所有的面都是相同的。

正六邊形鑲嵌也可被變形為一種手征性的四填充色三向同性的編織圖案。其中部分正六邊形被扭曲成了平行四邊形。這一圖案有著旋轉632 (p6) 對稱性（英語：List_of_planar_symmetry_groups#Wallpaper_groups）。

四色正六邊形鑲嵌
正六邊形 六邊形編織
p6m (*632) p6 (632)
   

應用

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正六邊形鑲嵌是二維空間最密的排列方式。在蜂窩猜想中，正六邊形鑲嵌是使用最少的總周長將該表面劃分成面積相等的區域的最佳方法。[1][2]最佳的三維結構由開爾文勳爵(Lord Kelvin)提出，他認為，開爾文結構(體心立方晶格)是最佳的結構（最佳結構可能出現於肥皂泡）。然而，一個更加不對稱的韋爾—費倫結構要比它好一些。

 
維基共享資源上的相關多媒體資源：正六邊形鑲嵌

參考文獻

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  1. ^ Weisstein, Eric W. Honeycomb Conjecture. MathWorld. [27 Dec 2010]. （原始內容存檔於2020-03-19）. 
  2. ^ Hales, Thomas C. The Honeycomb Conjecture. Discrete and Computational Geometry. 8 Jun 1999, 25: 1–22 (2001). arXiv:math/9906042  . 
  1. Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
  2. Grünbaum, Branko ; and Shephard, G. C. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. 1987. ISBN 0-7167-1193-1.  (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p. 58-65)
  3. 埃里克·韋斯坦因. Hexagonal Grid. MathWorld. 
  4. Klitzing, Richard. 2D Euclidean tilings o3o6x - hexat - O3. bendwavy.org. 
  5. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979: 35. ISBN 0-486-23729-X. 
  6. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]
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