In three dimensions, it is common to work with the Laplacian in a variety of different coordinate systems.
In 三维直角坐标系,
![{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33587fedbb79ea8527c34eca0f99b261dd1e4c17)
In 柱坐标系,
![{\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b60ecf7aa645ce00320f4334ca96e8603aa2aaa4)
In 球坐标系:
![{\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2300f274451fc5307b89b02f673ac3692abccef)
(here
represents the polar angle and
the azimuthal angle).
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