香港高級程度會考純粹數學科

香港高級程度會考純粹數學科(英語：HKALE Pure Mathematics)是昔日一個在香港教育制度內的大學預科高等數學課程，公開考試在1980年至2013年間由香港考試及評核局(HKEAA)舉辦。

歷史及概述

課程前身為香港大學入學資格考試純粹數學(University of Hong Kong Matriculation Examination Pure Mathematics)課程。

1980年，第一屆由香港考試局（今香港考試及評核局）舉辦的香港高級程度會考純粹數學科考試舉行。

1992年本科首次有教學用的課程綱要，香港課程發展議會編制及發佈純粹數學科學習領域指引《中學課程綱要－純粹數學科 (高級程度) (1992)》（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），此前只有考試綱要。

2001年4月，發生試題印錯事件，卷二第8題所提供的函數，把「 $6-x$ 」誤印成「 $x-6$ 」，令題目無法算出^[1]。考試局在同月27日檢討補救方法後^[2]，決定以不重考但調整考生分數的方式處理^[3]^[a]^[4]^[5]。

2004年，香港課程發展議會編制及發佈《數學教育學習領域－純粹數學科課程及評估指引 (高級程度) (2004)》（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。

2009年9月，香港教育界實施三三四高中教育改革新學制課程^[6]，當中並沒有純粹數學科^[7]，不過教育局總課程發展主任李柏良在新聞報導上指出，純粹數學科及香港高級補充程度會考數學與統計學的內容跟新學制的香港中學文憑考試數學科延伸部分接近^[8]。

2012年，最後一屆開放予應屆學校考生參加。

2013年，為自修生舉行的最後一屆香港高級程度會考舉行^[9] 。

課程設計及內容

1992年前

考試綱要

根據香港數學教育學會(Hong Kong Association for Mathematics Education)的網誌，由於不成文規定，香港大學入學資格考試的純粹數學科預科課程歸香港大學管理，只有考試綱要並未有教學課程及評估指引綱要發佈^[10]，任教老師只能參考歷屆試題來自製教材，部分學校出現教學課程內容過多過深的「超教（英語：Overlearning）」情況^[11]。

考試綱要/數學領域	早期純粹數學科試題內容
數理邏輯	命題、逆命題及逆否命題、充分必要條件或（ $\lor$ ）、非（ $\neg$ ）、與（ $\land$ ）、真值表蘊涵（ $\rightarrow$ ）、反蘊涵（ $\leftarrow$ ）、當且僅當(⇔)、邏輯等價量化、全稱量化(∀)、存在量化(∃)、唯一量化(∃!) 等價關係（ $\sim$ ）
數學證明	直接證明（粵語：直接證明）、反證法——無理數的證明對稱關係命題、不失一般性(w.l.o.g.) 數學敘述
初等集合論	元素、屬於關係 (∈) 集合及集合代數——併集、交集、補集、差集、笛卡兒積、德摩根定律、對稱差、冪集、空集數系——自然數集( $\mathbb {N}$ )、整數集( $\mathbb {Z}$ )、有理數集( $\mathbb {Q}$ )、實數集(ℝ)和複數集(ℂ)之間的子集關係( $\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$ )
級數及序列	等差數列及等比數列求和符號(Σ) 及求積符號 (Π) 通項公式、裂項和及裂項積遞迴關係式
數學歸納法	第一數學歸納法、第二數學歸納法強數學歸納法逆向歸納法——算術-幾何平均值不等式的證明
二項式定理	階乘 (n!) 二項式系數及帕斯卡三角形
函數及映射	定義域及值域、陪域、區間單射、雙射與滿射奇函數與偶函數、週期函數復合函數、反函數分段函數、對稱函數取整函數、符號函數
不等式	絕對值、絕對值不等式三角不等式分式不等式對稱多項式不等式代數不等式——算術-幾何平均值不等式、柯西-施瓦茨不等式
線性代數	線性方程組、行向量與列向量、初等變換、階梯形矩陣、高斯消去法、克萊姆法則矩陣代數運算(矩陣加法、矩陣乘法及其不可交換性、n次冪)及其代數性質、零矩陣、轉置矩陣方陣及行列式、薩呂法則、奇異方陣及非奇異方陣、逆矩陣、單位矩陣線性映射及 $\mathbb {R} ^{2}$ 上的仿射變換及其變換矩陣——平移、旋轉(旋轉矩陣)、反射、縮放、錯切
方程理論	多項式、多項式次數（粵語：多項式次數）、因式分解、因式定理、餘式定理多項式除法、綜合除法、多項式輾轉相除法及最大公因數、不可約多項式、艾森斯坦判別法代數方程、代數基本定理、共軛複根、有理數根定理、解析解、根、重根、根與係數、判別式多項式變換、配方法方程求解——二次方程、三次方程、四次方程笛卡兒符號法則介值定理、費馬引理有理函數及垂直漸近線、部分分式分解
複數代數	複數四則運算及其代數性質(封閉性、結合性、交換性、存在單位元、存在逆元和分配性)、虛數單位、實部、虛部、共軛複數、輻角、複數模數複數平面上的幾何表達及移動點的軌跡集合複數模數不等式——三角不等式、柯西-施瓦茨不等式棣莫弗公式及其應用——解一元n次方程、n次單位根、三角恆等式
微積分學	極限的直觀概念（不包括極限嚴謹定義ε-δ語言^[12]）、數學常數 $e$ 數列極限、無窮級數、無窮序列、單調遞增、單調遞減、單調收斂定理、斂散性(收斂、發散，不包括審斂法）夾擠定理、不定式及洛必達法則初等函數——代數函數、冪函數、有理函數、三角函數及反三角函數(三角恆等式)、指數函數及自然對數( $ln$ ) 函數極限、連續函數、左導數、右導數及可微函數求導法則——導數列表、四則運算(微分的線性、乘積法則、除法定則、倒數定則)、反函數的微分、複合函數的微分(鏈式法則)、隱函數的微分、參數方程和極坐標系方程的微分、對數微分、高階導數(萊布尼茨法則（英語：General Leibniz rule）) 羅爾定理、拉格朗日中值定理微分應用——函數圖形描繪(截距、漸近線、拐點、駐點、極值)、曲線上某點的切線斜率及法線微積分基本定理、黎曼積分及可積函數、不定積分（原函數）及積分常數、反常積分、積分第一中值定理積分表、三角函數積分表、三角換元法、降次積分法、換元積分法、分部積分法、部分分式積分法定積分應用——曲線弧長、平面面積、旋轉體的體積(圓盤法和外殼法)及旋轉曲面面積
平面解析幾何	笛卡爾坐標系、極坐標系弦、切線及法線圓錐曲線——圓、橢圓、拋物線、雙曲線、退化圓錐曲線及各參數方程，幾何特徵——離心率、焦點、準線、對稱軸圓錐曲線在齊次坐標的矩陣表示及其行列式的判別式
向量代數及立體解析幾何	歐幾里得空間的向量運算(向量加法定律——三角形定律、平行四邊形定律及多邊形定律、純量乘法)及其代數性質(結合性、存在單位元、存在逆元)、單位向量、零向量、範數、方向餘弦、向量截點公式（英語：Section formula）點積(純量投影)、叉積及其反交換律(其範數為平行四邊形的面積)、純量三重積 $\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$ (平行六面體的體積)、向量三重積 $\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$ 、向量恆等式向量不等式——三角不等式、柯西-施瓦茨不等式線性組合、線性相關性歐幾里得空間的直線方程表示——一般式、斜截式、二點式(行列式)、參數式、向量式，一點與直線的距離，兩條相交直線的相交點、兩條相交直線的夾角、兩條直線的距離歐幾里得空間的平面方程表示——一般式、點坐標及法向量、行列式，一點與平面的距離、兩個平面的夾角向量空間及其代數性質、維度、零空間
抽象代數	群(群論)、環(環論)、體(體論)
組合數學	排列與組合的概率問題

1992年後

1992年，純粹數學科公開考試教學課程綱要《中學課程綱要–純粹數學科(高級程度)1992》發佈^[13]。

《中學課程綱要–純粹數學科(高級程度)1992》
範疇A : 代數	單元A1 數學語言單元A2 函數單元A3 數學歸納法單元A4 不等式單元A5 正整指數的二項式定理單元A6 多項式及方程單元A7 $\mathbb {R} ^{2}$ 及 $\mathbb {R} ^{3}$ 的向量單元A8 矩陣單元A9 二元及三元線性方程組單元A10 複數
範疇B : 微積分與解析幾何	單元B1 序列、級數及其極限單元B2 極限、連續性及可微性單元B3 微分法單元B4 微分法的應用單元B5 積分法單元B6 積分法的應用單元B7 解析幾何

擬題方式

根據香港數學教育學會(Hong Kong Association for Mathematics Education)的期刊《數學教育》(EduMath)，1970年代開始，純粹數學科公開考試以結構式問題(Structured Question)形式^[14]考核考生對數學基礎的理解、應用及解難能力^[15]，題目取材自一些未有註明內自本科課程網要出處的數學概念或公式，要求考生證明該數學命題、定理或引理等，^[16]^[17]並著重融會各數學領域之間的關連和數學之美。

早年只有英文版本試題，以下列表以英文為主:

數學領域	擬題的數學概念或公式	試題題號	備註
正交多項式	埃爾米特多項式勒讓德多項式切比雪夫多項式
多項式序列	Fibonacci polynomials（英語：Fibonacci polynomials）
Sequences and series（英語：Series (mathematics)）	斐波那契數列 Harmonic series（英語：Harmonic series (mathematics)） Euler–Mascheroni constant（英語：Euler–Mascheroni constant） P-series（英語：Harmonic series (mathematics)#P-series）
數學分析	證明π是無理數 Proof that e is irrational（英語：Proof that e is irrational）巴塞爾問題 Π的萊布尼茨公式沃利斯乘積 Viète's formula（英語：Viète's formula）梅欽類公式史特靈公式 Frullani integral（英語：Frullani integral）利普希茨連續 Integral of inverse functions（英語：Integral of inverse functions）積分判別法 Cauchy's Mean Value Theorem（英語：Cauchy's Mean Value Theorem）富比尼定理
特殊函數	高斯積分 Β函數符號函數
Inequality（英語：Inequality (mathematics)）	赫爾德不等式楊氏不等式簡森不等式伯努利不等式切比雪夫總和不等式 Weierstrass product inequality（英語：Weierstrass product inequality）
李代數	李群
算術	Nearest integer function（英語：Nearest integer function）
Functional Equation（英語：Functional Equation）	柯西函數方程
傅里葉分析	帕塞瓦爾恆等式
複分析	Linear fractional transformation（英語：Linear fractional transformation）
超越數論	E的π次方
組合數學	母函數朱世傑恆等式范德蒙恆等式多項式定理
分數微積分	Cauchy formula for repeated integration（英語：Cauchy formula for repeated integration）
Calculus	泰勒公式 Steiner's calculus problem（英語：Steiner's calculus problem） Mean value theorems for definite integrals（英語：Mean value theorems for definite integrals）
泛函分析	p-Norm（英語：Norm (mathematics)#p-norm）
Operational calculus（英語：Operational calculus）	單位階躍函數
線性代數	Vector projection（英語：Vector projection）格拉姆-施密特正交化
Matrix Algebra（英語：Matrix (mathematics)）	Commuting matrices（英語：Commuting matrices）凱萊–哈密頓定理 Trace（英語：Trace (linear_algebra)）克羅內克積可對角化矩陣特徵分解特徵值和特徵向量特徵多項式矩陣多項式冪零矩陣反對稱矩陣
方程理論	Cubic equation#Cardano's formula（英語：Cubic equation#Cardano's formula）四次方程牛頓恆等式 Eisenstein's_criterion（英語：Eisenstein's_criterion）
Analytic Geometry（英語：Analytic Geometry）	心臟線帕斯卡蝸線星形線三尖瓣線
統計學	nth moment of f(x)（英語：Moment (mathematics)）

另見

註釋

^ 該題為試卷二乙部第8題，是一條長題目，要求用微積分描繪一個給定函數的圖像。考生須在乙部6題中選答4題，由於描繪曲線題目的解答方式較機械化，選答該題的考生比例達到98%。題目的(a)(iii)部份，要求考生證明該函數的二階導數等於題目印出的數式，然而所印數式中「 $6-x$ 」誤印成「 $x-6$ 」，以致考生誤以為自己計算錯誤，令不少考生浪費時間檢查。

參考資料

^ 高考純數題出錯考試局道歉. 東方日報. 2001-04-02: A16.
^ 高考純數影響大學聯招　「補鑊」方案有三試局今公布. 太陽報. 2001-04-27: A10.
^ 高考純數不重考調分處理考試局免再出錯會考試題再校對. 香港經濟日報. 2001-04-28: A22.
^ 高級程度會考出錯題目. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
^ 高級程度會考試題涉抄襲. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
^ 數ㆍ說回歸廿五年丨推三三四學制增加生涯規劃　學界指成果漸現. 商業電台. 2022-07-06 [2022-10-20]. （原始內容存檔於2022-10-20）. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
^ 新制選科Q&A. 星島日報. 2007-12-13: F03.
^ 新高中數學課程—學甚麼？怎樣選？. 文匯報. 2008-10-27: A18.
^ 高考告終 72人達大學門檻. 明報加東版(多倫多). 2013-07-20.
^ 數教漫話：如是我睹、我聞、我思梁鑑添 (PDF).
^ 《那些年，你所不知道的課改二》.
^ 從「微積分簡介」看數學觀與數學教學觀張家麟香港教育學院數學與資訊科技學系黃毅英香港中文大學課程與教學學系 (PDF). [2023-06-27]. （原始內容存檔 (PDF)於2023-06-27）. 早在1990年代，縱使當年高深如高級程度純粹數學科，亦已用「極限的直觀意念」取代「ε−δ定義」（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
^ 純粹數學科課程及評估指引（高級程度）.
^ 評核、擬題與數學教育黃毅英 (PDF). [2023-06-06]. （原始內容存檔 (PDF)於2022-06-26）. 以前數學命題比較簡單,且看一九六一年香港高級程度考試純粹數學卷一第三題 ... 這類題目不只能考驗運用某類技巧的能力,且要求考生從紜紜工具中選出適用的來。然其缺點是,當考生臨場未能找出適當之工具時,他就百籌莫展,一句也寫不出來。而此題的不能得分就不能反映他的實力。所以,自七十年代開始,香港公開考試題目便漸漸流行具結構性的題目。（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
^ 香港中學數學課程發展 —— 個人經歷與反思數學教育第二十一期 (12/2005) 黃毅英. 香港中文大學課程與教學學系 (PDF). [2023-05-27]. （原始內容存檔 (PDF)於2022-08-18）. 當時純數科的試題百花齊放，變化多端。甚至不少題目是現場定義一些概念，要求學生求證一些性質，最常見的是chebycheff多項式等(黃毅英、1996)。原意是學生不須先學會這些概念才進試場。漸漸地教師要力保不失，都把這些課題塞進教學形成「超教」(over-teach)的問題。當時筆者等便批評這是由於大部分擬題者乃為大學講師或助教(因為找沒有教高考班的前線老師來擬題亦不容易)所致。他們往往將大學或更高程度的內容改頭換面變成高考題，傾向於擬出一道優美的數學題多於根據課程目的和教學去探討學生是否掌握相關的內容。在一個場合中(香港大學碩士班研討)，當年在高考有不少參與的曾鈺成先生持不同意見。他指出純數學的一個重要課程目的是問題解決，故此考題不一定要針對特定的數學概念和技巧，而正正是要考驗考生能否融合不同的概念和技巧解決新的問題。這個觀點不無道理。在今天提出開放題與非常規題，如何測?如何避免非常規題常規化而變成另一種背誦的題型?這些也許值得我們再拿出來反思。（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
^ AL Pure maths notes: Legendre Polynomials (PDF). （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
^ 那些DSE同學所不知道的事－－那些年的A-level數學. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
^ 兩個高考──英中路寬中中吃虧. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

外部連結

[4] 該題為試卷二乙部第8題，是一條長題目，要求用微積分描繪一個給定函數的圖像。考生須在乙部6題中選答4題，由於描繪曲線題目的解答方式較機械化，選答該題的考生比例達到98%。題目的(a)(iii)部份，要求考生證明該函數的二階導數等於題目印出的數式，然而所印數式中「 $6-x$ 」誤印成「 $x-6$ 」，以致考生誤以為自己計算錯誤，令不少考生浪費時間檢查。

[1] 高考純數題出錯考試局道歉. 東方日報. 2001-04-02: A16.

[2] 高考純數影響大學聯招　「補鑊」方案有三試局今公布. 太陽報. 2001-04-27: A10.

[3] 高考純數不重考調分處理考試局免再出錯會考試題再校對. 香港經濟日報. 2001-04-28: A22.

[5] 高級程度會考出錯題目. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[6] 高級程度會考試題涉抄襲. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[7] 數ㆍ說回歸廿五年丨推三三四學制增加生涯規劃　學界指成果漸現. 商業電台. 2022-07-06 [2022-10-20]. （原始內容存檔於2022-10-20）. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[8] 新制選科Q&A. 星島日報. 2007-12-13: F03.

[9] 新高中數學課程—學甚麼？怎樣選？. 文匯報. 2008-10-27: A18.

[10] 高考告終 72人達大學門檻. 明報加東版(多倫多). 2013-07-20.

[11] 數教漫話：如是我睹、我聞、我思梁鑑添 (PDF).

[12] 《那些年，你所不知道的課改二》.

[13] 從「微積分簡介」看數學觀與數學教學觀張家麟香港教育學院數學與資訊科技學系黃毅英香港中文大學課程與教學學系 (PDF). [2023-06-27]. （原始內容存檔 (PDF)於2023-06-27）. 早在1990年代，縱使當年高深如高級程度純粹數學科，亦已用「極限的直觀意念」取代「ε−δ定義」（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[14] 純粹數學科課程及評估指引（高級程度）.

[15] 評核、擬題與數學教育黃毅英 (PDF). [2023-06-06]. （原始內容存檔 (PDF)於2022-06-26）. 以前數學命題比較簡單,且看一九六一年香港高級程度考試純粹數學卷一第三題 ... 這類題目不只能考驗運用某類技巧的能力,且要求考生從紜紜工具中選出適用的來。然其缺點是,當考生臨場未能找出適當之工具時,他就百籌莫展,一句也寫不出來。而此題的不能得分就不能反映他的實力。所以,自七十年代開始,香港公開考試題目便漸漸流行具結構性的題目。（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[16] 香港中學數學課程發展 —— 個人經歷與反思數學教育第二十一期 (12/2005) 黃毅英. 香港中文大學課程與教學學系 (PDF). [2023-05-27]. （原始內容存檔 (PDF)於2022-08-18）. 當時純數科的試題百花齊放，變化多端。甚至不少題目是現場定義一些概念，要求學生求證一些性質，最常見的是chebycheff多項式等(黃毅英、1996)。原意是學生不須先學會這些概念才進試場。漸漸地教師要力保不失，都把這些課題塞進教學形成「超教」(over-teach)的問題。當時筆者等便批評這是由於大部分擬題者乃為大學講師或助教(因為找沒有教高考班的前線老師來擬題亦不容易)所致。他們往往將大學或更高程度的內容改頭換面變成高考題，傾向於擬出一道優美的數學題多於根據課程目的和教學去探討學生是否掌握相關的內容。在一個場合中(香港大學碩士班研討)，當年在高考有不少參與的曾鈺成先生持不同意見。他指出純數學的一個重要課程目的是問題解決，故此考題不一定要針對特定的數學概念和技巧，而正正是要考驗考生能否融合不同的概念和技巧解決新的問題。這個觀點不無道理。在今天提出開放題與非常規題，如何測?如何避免非常規題常規化而變成另一種背誦的題型?這些也許值得我們再拿出來反思。（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[17] AL Pure maths notes: Legendre Polynomials (PDF). （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[18] 那些DSE同學所不知道的事－－那些年的A-level數學. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[19] 兩個高考──英中路寬中中吃虧. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

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